Temos dois tipos de divisão por zero: a divisão de um número não nulo por zero e a divisão de zero por zero. Os representantes protótipos desses tipos são: a divisão 1/0 e a divisão 0/0.
Essas duas divisões tem natureza bastante distinta:
a divisão 1/0 é indefinida ou impossível entre os números
e a divisão 0/0 é indeterminada
O texto abaixo, explica em detalhe a inviabilidade dessas divisões e, em particular, o significado das expressões "indefinida" e "indeterminada".
A divisão 1/0: indefinida, ou impossível, entre os números
Sendo a e b números, dizermos que a / b = c significa dizer que vale a = b . c .
De modo que perguntar "quanto é um dividido por zero?" é o mesmo que perguntar "qual número, quando multiplicado por zero, dá um?". Obviamente, não existe nenhum tal número e então não podemos achar um resultado numérico para 1/ 0. Dizemos que a divisão 1 / 0 é indefinida; ou seja: é impossível escolher ( definir ) um número que possa ser atribuído como valor de 1/0.
A divisão 1/0: contornando a indefinição com o infinito
Como vimos acima, não existe nenhum número que possa ser visto como sendo o resultado da divisão 1 / 0. Contudo, muito frequentemente vemos pessoas argumentando da seguinte maneira:
Como os quocientes
1/0.1 = 10 , 1/0.01 = 100 , 1/0.001 = 1000, etc
vão crescendo sem limite, poderíamos pensar num novo objeto matemático, que chamaremos de infinito e que representaria uma quantidade imensamente grande, ou algo desse tipo e colocado com melhores palavras, e o qual seria visto ou definido como sendo o resultado de 1/0. Ou seja: 1/0 = infinito. De modo que 1/0, embora 1/0 seja indefinida no conjunto dos números, ficaria definido através do objeto não numérico infinito.
O que pode-se dizer de uma tal tentativa de atribuir um resultado à divisão 1 / 0 ?
Bem, isso até pode ser feito. Contudo,
nunca poderemos deixar de ter em vista que o tal infinito não é número
Se quisermos realizar operações aritméticas com tal infinito, teremos de levar em conta que isso não será possível fazer de acordo com as regras operatórias que estamos acostumados usar no contexto de operações aritméticas com números
Examinemos isso com mais cuidado.
Um exemplo de regra operatória para números que não podemos abrir mão é:
b . a/b = a
de modo que teríamos de aceitar a validade de: 0 . 1/0 = 1, ou seja: 0 . infinito = 1. Essa última igualdade produz contradições, pois teríamos:
1 = 0 . infinito = 0 . ( 2.infinito) = 2 . ( 0 . infinito ) = 2 . 1 = 2
. Ou seja, acabaríamos chegando ao resultado absurdo: 1 = 2.
Assim que, no instante que aceitarmos a divisão por zero, estaremos abrindo a porta do mundo das contradições.
A divisão 0/0: seria possível definir 0/0 = 1?
Poder-se-ia pensar que como 1/1 = 2/2 = 3/3 = ... = 1, seria natural definir 0/0 = 1. Contudo a divisão 0/0 traz embutida uma indeterminação, na medida que se definirmos 0/0 = 1 então seremos obrigados a concluir que 0/0 = 2, que 0/0 = 3 e que 0/0 = qualquer número que pensarmos.
Com efeito, se 0/0 = 1 então 0/0 = (2*0)/0 = 2 * 0/0 = 2*1 = 2 e analogamente provaríamos que 0/0 = qualquer real que quisermos.
Na prática, é bastante comum vermos alunos principiantes atribuirem valor para 0/0 e acabarem provando absurdos. Um exemplo típico:
para qualquer número r, podemos escrever: r.r - r.r = r2 - r2, e então: r.(r-r) = (r+r)(r-r). Dessa última igualdade tiramos: r = r + r e, então: 1 = 2.
Obviamente, o raciocínio acima envolveu uma divisão por zero; mais precisamente, foi usado que 0/0 = 1, o que raramente é atinado pelo aluno.
A divisão 0/0: seria possível definir 0/0 = 0 ?
Agora, parte-se da observação que 0/1 = 0/2 = 0/3 = etc = 0 e daí defende-se que 0/0 = 0.
Essa "definição" é bastante interessante, na medida em que ela não produz a indeterminação associada a 0/0 = 1. Com efeito, o raciocínio que lá usamos, agora, não consegue produzir indeterminações pois:
0/0 = (2*0)/0 = 2 * 0/0 = 2 * 0 = 0, etc
Contudo, a definição 0/0 = 0 também é inaceitável pois complica a Matemática e produz resultados não naturais. Com efeito, a clássica e básica regra:
(a*b)/b = a se b não nulo
ficaria modificada para:
(a*b)/b = a se b não nulo
(a*b)/b = 0 se b nulo
Além de complicada, a nova regra não leva em conta o valor de a e isso pode provocar resultados inaceitáveis, como a seguinte descontinuidade de tendência:
Seja estudar o gráfico da função y = ( x2 - 1 ) / ( x - 1 ).
Se aceitarmos a definição 0/0 = 0, poderíamos escrever nossa função como:
y = ( x + 1 )( x - 1 )/( x - 1 ) = ( x + 1 ) se x for distinto de 1
y = 0 se x=1
de modo que o gráfico dessa função ficaria sendo o ponto (1,0) e uma reta furada em x=1. Teríamos que a função ficaria irremediavelmente descontínua em x=1. E' preferível deixar 0/0 indefinido e então a função indefinida em x=1, mas com a possibilidade de redefini-la pelo seu valor limite y=2 em x=1, se assim for conveniente.
Resumo e conclusões:
a divisão 1/0 é indefinida entre os números, mas pode ser definida como 1/0 = infinito. Se adotarmos essa solução, devemos estar bem cientes que a operação com o infinito provocará resultados absurdos a menos que façamos uma drástica modificação nas regras usuais de cálculo
a divisão é/0 indeterminada entre os números não nulos, e em especial com a escolha 0/0 = 1; o caminho alternativo 0/0 = 0 leva a resultados não naturais e inconvenientes.
http://www.mat.ufrgs.br/~portosil/passa7d.html
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